手搓宝匣 · Fourier transform
三段动画 + 解说词，把「时域」「频域」和傅里叶变换讲明白： 它不是把信号变成别的东西，而是换一种看法。
傅里叶变换回答的问题只有一个：这段复杂的波形，是由哪些不同频率的纯音、各占多少，混出来的？
把一杯奶昔送进分析仪，出来一张配方：草莓 40%、香蕉 35%、牛奶 25%。 奶昔本身没变，但你拿到了它的「成分表」。有了成分表，你就能挑掉不喜欢的 （降噪）、只保留重要的（压缩）、照着重新调一杯（重建信号）。
傅里叶变换做的事，一句话：把一段复杂的波形，拆成一堆不同频率、不同大小的简单正弦波。就像把一杯奶昔还原成配方表：草莓多少、香蕉多少、牛奶多少。时域，是你尝到的那口味道随时间的变化；频域，是那张配方表。它们描述的是同一杯奶昔，只是看法不同。
弹一个和弦（do、mi、sol 同时按下）：
傅里叶变换就是从左图算出右图的那台机器；傅里叶反变换则照着配方把波形原样调回来。 信息一点不少，只是换了个坐标系。
时域和频域，不是两个东西，是同一段信号的两种看法。时域告诉你：每个时刻，波形振得多高。频域告诉你：这段波形里，每个频率的成分有多少。傅里叶变换，就是从时域算出频域的那台机器；反过来，还能照着配方把波形原样调回来。信息一点没少，只是换了个坐标系。就像同一座城市，地图和街景是两种看法。
上半屏：一条条光滑的纯音（正弦波）；下半屏：它们加起来的样子。 纯音越多，越接近理想的方波虚线。加到无穷多条，就严丝合缝。
看这张动画：一条棱是棱、角是角的方波，居然可以用一条条光滑的波浪搭出来。第一条大波浪定出轮廓，再加上频率三倍、五倍、七倍、越来越细的小波浪，每加一条，方波就挺一点。加到无穷多条，就严丝合缝。这就是傅里叶的核心断言：任何周期波形，都能用一堆正弦波搭出来。
一条正弦波 = 一个匀速旋转的圆在竖直方向上的投影。大圆套小圆， 每个圆转得更快、更小；盯住黄色端点的高度，往右展开就是波形本身。
换个角度看正弦波：它其实是一个匀速旋转的圆，在竖直方向上的投影。所以，叠加正弦波，就等于把一串圆首尾相接：大圆上套小圆，小圆上套更小的圆，各自的转速是一倍、三倍、五倍。盯住最后那个黄色端点的高度，往右边展开，画出来的就是方波。这一串旋转的圆，就是方波的频域配方，活了过来。
左边是「什么时候振多狠」（时域），右边是「由哪些频率组成」（频域）—— 同一段信号的两种看法。拨动滑杆：右边每亮一根柱子，左边就添一笔。 注意方波在棱角的「小尾巴」（吉布斯现象）：成分不够多时永远抚不平。
现在把两种看法放在一起。左边是时域：波形随时间怎么振。右边是频域：每根柱子是一个频率成分，柱子越高，这个成分越强。拨动滑杆，右边每亮一根柱子，左边就添上一笔，波形一步步逼近理想形状。再切换方波、锯齿波、三角波：形状不同，配方也完全不同。注意方波棱角上抖动的小尾巴，那叫吉布斯现象：成分不够多，就永远抚不平。
你每天都在用傅里叶变换，只是看不见它：
让它真正普及的是 FFT（快速傅里叶变换，1965）：把计算量从 N² 降到 N log N，一千万点的信号从「算一天」变成「眨眼之间」， 上面这些实时应用才成为可能——它常被称为 20 世纪最重要的算法之一。
那它到底用来干嘛？答案是：你每天都在用。MP3 把听不清的频段扔掉，文件小十倍；JPEG 用同样的思路压缩照片；降噪耳机在频域里找到噪声，精确抵消；5G 和 Wi-Fi 把数据摊到几百个频率上同时发；CT 和核磁共振收到的原始数据本来就是频域的，靠傅里叶反变换重建出你的身体。而让它能实时跑起来的，是 1965 年的快速傅里叶变换 FFT，计算量从 N 的平方降到 N 乘 log N。它常被称为二十世纪最重要的算法之一。
傅里叶变换不是把信号变成别的东西，而是换一种看法： 从「什么时候」换成「有哪些频率」。 很多问题在时域里是一团乱麻，换到频域，一眼看穿。
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